|z| und arg(z) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | | Es sei z = [mm] (\bruch{1+i}{1-i})^{100} [/mm] |
Kann ich ja erstmal umschreiben als
z = [mm] \bruch{1-i}{1+i} [/mm] = [mm] \bruch{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
[/mm]
= -i
Also ist |z| = 1.
Und arg(z) ist ja definiert als [mm] sin(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{y}{r} [/mm]
mit y = Im z und r = |z|
Demnach ist arg(z) = -90° oder?
Gruß
al3pou
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Hallo,
den Klammerinhalt kann man so umschreiben, ja. Aber wenn z die 100. Potenz ist, dann solltest du für den Klammerinhalt eine andere Variable benutzen.
Das Argument würde ich eher im Bogenmaß mit
[mm] arg(z)=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
angeben, aber -90° stimmen natürlich auch.
EDIT: Hier bezeichnet z den Bruch
[mm] z=\bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
siehe dazu den folgenden Beitrag von fred97.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei z = [mm](\bruch{1+i}{1-i})^{100}[/mm]
> Kann ich ja erstmal umschreiben als
>
> z = [mm]\bruch{1-i}{1+i}[/mm] = [mm]\bruch{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}[/mm]
> = -i
Nein. Es ist [mm] $z=(-i)^{100}= [/mm] 1$
>
> Also ist |z| = 1.
> Und arg(z) ist ja definiert als [mm]sin(\alpha)[/mm] = [mm]\bruch{y}{r}[/mm]
> mit y = Im z und r = |z|
> Demnach ist arg(z) = -90° oder?
Nein. arg(z)=0
FRED
>
> Gruß
> al3pou
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, also das mit der Aufgabe habe ich verstanden. Jetzt habe ich noch z = (1 + [mm] i)^{n} [/mm] + (1 - [mm] i)^{n}. [/mm] Keine meiner Ideen bringt mich weiter. Also eigentlich verwirrt mich der Exponent n nur der übrigens n [mm] \in \IN [/mm] ist. Habe mir gedacht, ich könnte da was mit dem Binomischen Lehrsatz anfangen aber was genau weiß ich auch nicht und dann habe ich noch drüber nachgedacht, was passiert, wenn n gerade bzw ungerade ist, aber das bringt mich nicht wirklich weiter.
Irgendwelche Ideen?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Mo 16.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay, also das mit der Aufgabe habe ich verstanden. Jetzt
> habe ich noch z = (1 + [mm]i)^{n}[/mm] + (1 - [mm]i)^{n}.[/mm] Keine meiner
> Ideen bringt mich weiter. Also eigentlich verwirrt mich der
> Exponent n nur der übrigens n [mm]\in \IN[/mm] ist. Habe mir
> gedacht, ich könnte da was mit dem Binomischen Lehrsatz
> anfangen aber was genau weiß ich auch nicht und dann habe
> ich noch drüber nachgedacht, was passiert, wenn n gerade
> bzw ungerade ist, aber das bringt mich nicht wirklich
> weiter.
> Irgendwelche Ideen?
Schreibe $1 + i$ und $1 - i$ jeweils in der Form $r [mm] \cdot e^{\phi i}$ [/mm] mit $r, [mm] \phi \in \IR$, [/mm] $r > 0$, [mm] $\phi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi)$. [/mm] Dann kannst du das ganze recht einfach ausdruecken. Wenn du zusaetzlich noch [mm] $\frac{e^{\phi i} + e^{-\phi i}}{2} [/mm] = [mm] \cos \phi$ [/mm] verwendest, hast du zum Schluss etwas schoenes da stehen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Komm damit nicht klar. Also ich hab das jetzt so umgeschrieben:
z = [mm] \wurzel{2}e^{\bruch{\pi}{4}in} [/mm] + [mm] \wurzel{2}e^{-\bruch{\pi}{4}in}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Komm damit nicht klar. Also ich hab das jetzt so
> umgeschrieben:
>
> z = [mm]\wurzel{2}e^{\bruch{\pi}{4}in}[/mm] +
> [mm]\wurzel{2}e^{-\bruch{\pi}{4}in}[/mm]
Was hat Felix gesagt: benutze $ [mm] \frac{e^{\phi i} + e^{-\phi i}}{2} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Okay, habe ich jetzt benutzt und komme dann auf
z = [mm] \wurzel{2}(e^{\bruch{\pi}{4}in}+e^{-\bruch{\pi}{4}in})
[/mm]
= [mm] \wurzel{2}(2cos(\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
= 2
Damit ist |z| = 2 und arg(z) = 0.
Ist das so richtig?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 16.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, habe ich jetzt benutzt und komme dann auf
>
> z = [mm]\wurzel{2}(e^{\bruch{\pi}{4}in}+e^{-\bruch{\pi}{4}in})[/mm]
> = [mm]\wurzel{2}(2cos(\bruch{\pi}{4}))[/mm]
Wo ist das n geblieben ????
> = 2
>
> Damit ist |z| = 2 und arg(z) = 0.
> Ist das so richtig?
Nur für n=1.
FRED
>
> Gruß
> al3pou
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 16.01.2012 | | Autor: | al3pou |
Oh, stimmt das habe ich ja ganz vergessen.
Dann müsste es doch so aussehen
z = [mm] \wurzel{2}(2cos(n\bruch{\pi}{4}))
[/mm]
mit jedem Schritt bzw immer wenn ich n einen erhöhe, dann wird der Winkel um 45° größer, aber wie bringe ich das nun ein, damit ich etwas allgemeines habe?
Gruß
al3pou
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann solltest du dir [mm] cos(n*\pi/4) [/mm] vielleicht mal für die ersten paar n ansehen. ab n=8 gibts ja nichts neues mehr!
Gruss leduart
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